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Tipo: Trabalho de Conclusão de Curso
Título : Ondas Estacionárias: corda vibrante de um violão
Autor(es): Alderete, Karen Camargo de
Primeiro Orientador: Delatorre, Leonel Giacomini
1° Membro da banca: Soares, Daiane Campara
2° Membro da banca: Silveira, Karla Beatriz Vivian
Resumo: O presente trabalho de conclusão de curso tem como temática as Equações Diferenciais Parciais (EDP’s), mais precisamente a equação da onda, a qual pode ser utilizada para modelar, por exemplo, o deslocamento vertical de uma corda de violão, que se mantém fixa nas extremidades e sofre uma alteração de modo a entrar em um padrão vibrató-rio estacionário. Assim, objetivamos estabelecer uma regra que rege o deslocamento u(x, t) – em um ponto qualquer x e num instante de tempo t > 0 – de uma corda de violão de comprimento L, esticada, flexível e fixa em ambos as extremidades, ao entrar em modo de vibração. Como fundamentação teórica para a resolução do problema, demandou-se retomar e ampliar conceitos de Cálculo Diferencial e Integral, Álgebra Linear, Equações Diferenciais Ordinárias e Séries de Fourier, além da apropriação de novos conhecimentos e métodos inerentes às equações diferenciais parciais. Metodo-logicamente, a fim de resolver o problema de pesquisa, a saber, a² uxx = utt u(0, t) = u(L, t) = 0, t > 0 u(x,0) = f (x), ut(x,0) = g(x), 0 ≤ x ≤ L. fez-se necessário reescrevê-lo na forma de dois problemas auxiliares, A e B, resolvendo-os separadamente, por meio das 3 etapas seguintes: transformar a equação da onda (Equação Diferencial Parcial) em duas Equações Diferencias Ordinárias (EDO’s) por meio do método da Separação de Variáveis; utilizar as condições de contorno e uma das condições iniciais de forma a recairmos em um problema regular de Sturm-Liouville, obtendo, assim, soluções por meio de autovalores e autofunções; utilizar o princípio da superposição para, aliado à última condição inicial, reconhecer coeficientes de uma série de Fourier em Senos, obtendo soluções respectivas aos problemas A e B. A soma das soluções de tais problemas é, então, reconhecida como a solução do problema de pesquisa, sujeita à algumas hipóteses sobre f e g.
Resumen : The present undergraduate final work has as its theme the Partial Differential Equations (PDE’s), more precisely the wave equation, which can be used to model the vertical displacement of a guitar string, for example, which remains fixed in the extremities and experiences a change, in order to enter a stationary vibratory pattern. Thus, we aim to establish a rule that governs the displacement u(x, t) – at any point x and in an instant of time t > 0 – of a guitar string of length L, stretched, flexible and fixed at both ends when it goes into vibration mode. As a theoretical foundation for solving the problem, it was necessary to retake and expand the concepts of Differential and Integral Calculus, Linear Algebra, Ordinary Differential Equations and Fourier Series, in addition to the appropriation of new knowledge and methods inherent to partial differential equations. Methodologically, in order to solve the research problem, namely, a² uxx = utt u(0, t) = u(L, t) = 0, t > 0 u(x,0) = f (x), ut(x,0) = g(x), 0 ≤ x ≤ L. it was necessary to rewrite it in the form of two auxiliary problems, A and B, solving them separately, through the following 3 steps: transform the wave equation (Partial Differential Equation) into two Ordinary Differential Equations (ODE’s) using the Variable Separation method; use the boundary conditions and one of the initial conditions in order to get a regular Sturm-Liouville problem, obtaining solutions through eigenvalues and eigenfunctions; use the principle of superposition, coupled with the last initial condition, to recognize coefficients of a Fourier Sine Series, obtaining respective solutions to the problems A and B. The sum of the solutions to such problems is then recognized as the solution to the research problem, requiring some assumptions about f and g.
Palabras clave : Equação da Onda
Equações Diferenciais Parciais
Séries de Fourier
Wave equation.
Partial Differential Equations.
Fourier series.
CNPQ: CNPQ::CIENCIAS EXATAS E DA TERRA
Idioma: por
metadata.dc.publisher.country: Brasil
Editorial : Universidade Federal do Pampa
Sigla da Instituição: UNIPAMPA
Campus: Campus Itaqui
Citación : ALDERETE, Karen Camargo de. Ondas estacionárias: corda vibrante de um violão. 2022. 46 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) - Universidade Federal do Pampa, Itaqui, 2021.
Tipo de acesso: Acesso Aberto
URI : https://repositorio.unipampa.edu.br/jspui/handle/riu/6804
Fecha de publicación : 1-may-2021
Aparece en las colecciones: Licenciatura em Matemática

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